عدد پیعددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی بهنحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات میباشدو آن را با نمایشمیدهند. در هندسه اقلیدسی دوبعدی، این عدد را نسبت محیط دایره بهقطردایره و یا مساحتدایره ای بهشعاعواحد تعریف میکنند. در ریاضیات مدرناین عدد را در علم آنالیز وبا استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف میکنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابرکوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریفمیکنند. |
تاریخچه
بابلیان هنگامی که میخواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب میکردند.البته لوحهای قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص میکند آنها مقدار تقریبی پی را برابر 3.125 میدانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه میکردند.( d قطر دایره در نظر گرفته میشد ) که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست میآید.
يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از راه تربيع آن يعني
از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مي آوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه هر شكل پهلو دار پي ببرند . آن گاه كه محاسبه مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مسئله اي ناشدني مي نمايد . در هندسه اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر آن عدد ثابتي است . و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم آن بدست مي ايد و مسئله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه در ازاي آن با آن مقدار ثابت برابر باشد رسم اين خط ناشدني است .سرانجام راه چاره را در آن ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي آن مقدار ثابت بدست آورند .
ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست آورد كه ساليان دراز آن را به كار مي بردند .پس از آن و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود سه ده ميليونم است .
رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست آورد كه تا شانزده رقم پس از مميز دقيق بود اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار دوبرابر پی راتا شانزده رقم اعشار در رساله محيطيه برابر 6.2831853071795865 بدست آورد .
حال امروزه در محافل بین المللی و مجامع ریاضی دوست روز چهاردهم ماه مارس هر سال را به عنوان روز عدد پی در نظر میگیرند. در این روز برنامه های متنوعی اجرا میشود . از قبیل مسابقات ریاضی و مسابقه سیب خوری و... .
تقریب اعشاری عدد پی
اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم
محیطیو یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیکتر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار میگیرد.
این فرمول به صورت زیر است:
با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.
عدد پی:
یا شمار پی (π) یکی از ثابتهای ریاضی است که در ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد.مردم تمدنهای باستان بخوبی میدانستند که نسبت محیط هر دایره به قطر آن عدد ثابتی است که به ۳ نزدیک است. خاورمیانهایها پیش از ارشمیدس هم کوشش در محاسبه دقیق این عدد کرده بودند، اما ارشمیدس نخستین کسی بود که روشی را برای محاسبه عدد پی ارائه داد.او مقدار عدد پی را با تقریب محاسبه و اینگونه ارائه کرد:
وی برای محاسبه عدد پی، بر یک دایره به قطر واحد از چندضلعیهای محیطی و محاطی استفاده کرد.
مردم مصر باستان و تمدن میانرودان (بین النهرین) مقدار عدد پی را بترتیب حدود:
 3.126
می دانستند. همچنین در یکی از پاپیروسهای مصری بطور مشخص برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن از عدد:
2(8/9)4 = 3.16
استفاده شده است.
در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد پی گنگ *است و نمیتوان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی عددی جبری نیست و (همانند عدد e) نمیتواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند. این کشف بزرگ، یعنی این که عدد پی عددی گنگ است، به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.
باوجود آنکه همه ریاضیدانان میدانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمیتوان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمولها و مدلهای محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما تا قبل از ساخت رایانه هرگز نتوانستند این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.
نخستین محاسبه رایانهای در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از ابررایانههای دانشگاه توکیو این عدد را تا 206,158,430,000 رقم اعشار محاسبه نمود.
از فرمولهای زیبای ریاضیات برای محاسبه عدد پی میتوان به سری معروف لایبنیتز اشاره کرد:
π = 4 * (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...)
* اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آنها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است ولي میتوان اعداد گنگ را روي محور اعداد نمايش داد كار بسيار ساده ايي است كافي است هندسه را در رياضيات مورد استفاده قرار دهيم . امتحان كنيدميتوان از رابطه فيثاغورث استفاده كرد عدد پی 14/3 نیست!!
مرورى بر فعاليت هاى يك رياضيدان گمنام ايرانى و تصحيح مقدار عدد پى
ساليان دراز است كه همه رياضيدانان و دانشمندان ساير حوزه هاى علم متفق القولند كه مقدار عدد پى (يعنى نسبت محيط دايره به قطر آن) حدود ۱۴/۳ است. اما ايشان با ارائه روشى جديد مدعى شده اند كه مقدار دقيق پى برابر ۱۵/۳ است و همه دانشمندان در تمام طول تاريخ و همه اطراف و اكناف جهان تاكنون در اشتباه بوده اند: « عالمان دريافته بودند نسبت پيرامون دايره به قطر آن مقدارى است ثابت،كه آن را«پى» ناميده اند. مقدار آن را طى محاسبات كه از روى چند ضلعى هاى محاطى و محيطى ...۳/۱۴۱۵ استخراج كرده اند. يعنى از روى ناچارى با خط راست خواستند مقدار كمان را محاسبه نمايند و آنان به خوبى واقف از اين امر كه عدد استخراج شده تقريب دارد و نمى تواند دقيق باشد.»
محقق محترم جناب آقاى حسن دينبلى، با نبوغ خداداديشان دايره را با چندين روش مستقيم الخط كرده و در نتيجه پيرامون دايره را همجنس با قطر دايره قرار داده و مقدار دقيق اين نسبت را محاسبه كرده اند. جالب اينكه عدد به دست آمده ۳/۱۵۴۷۰۰۵۳۸۳۷۹۲۵۱۵۲۹۰۱۸۲۹۵۶۱۰۰۹۵۵۱ است. اين مقدار به دست آمده خود به تنهايى مى تواند مسبب انقلابى در علم رياضيات كه علم مادر است، گردد.» «نتيجه اينكه عدد «پى» كه از روى چند ضلعى هاى محاطى و محيطى ..... ۱۴۱۵/۳ استخراج گرديده بود، از رقم صدم به بعد اشتباه و غلط است. حال اگر ژاپن و يا هر كشور پيشرفته ديگرى تا صد ميليون رقم بعد از اعشار را هم مقايسه كنند، از رقم صدم به بعد بايد اصلاح شود.»
ايشان تا همين چند وقت پيش چنان به صحت روش خود اطمينان داشتند كه بارها گفتند: «حاضرم گيوتين در دست در محفل اساتيد و بزرگان رياضى، دانشمندان انجمن رياضى و هر آن كس كه دست اندركار علم رياضى در كشور است، در بحث علمى حضور يابم تا اگر خلاف گفته هايم ثابت شد، گردنم را بزنند» احتمالاً شما كه سال ها مقدار پى را برابر ۱۴/۳ مى دانستيد و در تمام طول تحصيل خود هيچگونه تغييرى در مقدار آن روا نمى دانستيد، سردرگم مى شويد. اما هيچ گونه شك و ترديدى به خود راه ندهيد: « مطلب فوق يكى از روش هاى مندرج در كتاب هنر خطكش و پرگار است كه به تاييد پروفسور هاوكينگ برنده جايزه نوبل رسيده است. طالبين مى توانند صحت موضوع را از شخص پروفسور هاوكينگ استفسار نمايند.» در اينجا چند پرسش به ذهن خطور مىكند:
۱ _ چرا آقاى دينبلى براى حل يك مسئله رياضى به جاى مراجعه به يك رياضيدان به يك فيزيكدان متوسل شده است؟ ۲ _ چرا آقاى دينبلى هنگام مراجعه به يك فيزيكدان براى استفسار و تعيين صحت و سقم حل مسئله هندسى، اينهمه فيزيكدان ايرانى را كنار گذاشته و به يك فيزيكدان خارجى متوسل شده است؟ ۳ _چرا از بين اين همه فيزيكدان، كسى را انتخاب كرده است كه توانايى برقرارى ارتباط با ديگران ندارد (حتى صحبت) و تمام كارهاى وى را خانواده، اطرافيان، دانشجويان و كامپيوترش انجام مى دهند؟ ۴ _ چرا آقاى دينبلى تاييديه اى را كه از آقاى هاوكينگ كسب كرده است، ارائه نمىدهد و بررسى صحت و سقم آن را به عهده خواننده واگذار مى كند (حتى بدون ارائه نشانى از شخص هاوكينگ) ۵ _آقاى هاوكينگ كى برنده جايزه نوبل شده است؟ تا جايى كه مى دانيم نه كميته نوبل چنين ادعايى دارد، نه خود هاوكينگ. جالبتر آنكه هاوكينگ بارها و به مناسبت هاى مختلف به اين نكته كه تاكنون برنده جايزه نوبل نشده است اشاره كرده و به بررسى دلايل آن پرداخته است. با اين همه اگر هنوز هم مطمئن نيستيد كه آيا آقاى هاوكينگ برنده جايزه نوبل شده است يا خير مى توانيد به سايت nobelprize.Org مراجعه كنيد و در آنجا اسامى تمامى برندگان جايزه نوبل در تمام رشته ها را از اولين سال اهداى اين جايزه (۱۹۰۱) بررسى كنيد تا مطمئن شويد كه آيا هاوكينگ برنده جايزه نوبل شده است يا خير. ۶-چرا آقاى هاوكينگ «پى» ايشان يعنى ۱۵/۳ را تائيد مى كنند اما در محاسبات خود هميشه «پى» را معادل ۱۴/۳ قرار مى دهند؟
به هر روى همچنان كه از عظمت چنين خبر سترگى مات و مبهوت مانده بوديم كه خبر ديگرى كه خبرگزارى وانا ارسال كرد، ضربه ديگرى بر پيكر ضعيف و نحيف رياضيات وارد كرد: «اصلاح عدد پى براى بيضى توسط رياضيدانى ايرانى: استاد حسن دينبلى از رياضى دانان مشهور ايرانى كه مطالعات و نظرياتى در مورد هندسه دارد اعلام كرد كه ميزان عدد پى براى بيضى بيش از ۲۰/۳ است. دفتر اطلاع رسانى وب سايت استاد دينبلى با ارسال آخرين مطالعات ايشان به دفتر خبرگزارى وانا اعلام كرد كه عدد پى براى محاسبه مشخصات هندسى بيضى بايد بيش از ۲۰/۳ در نظر گرفته شود. تا قبل از اين رياضيدانان عدد پى را براى تمامى اشكال هندسى حدود ۱۴/۳ مىدانستند در حالى كه استاد دينبلى قبل از اين مقدار صحيح عدد پى را براى دايره محاسبه و اصلاح كرده بود.» لازم است يك بار ديگر در معناى كلمه «ثابت» دقت كنيم. وقتى كه قرار است عدد ثابت باشد، ديگر بايد براى هميشه و تحت هر شرايطى بدون تغيير بماند. اگر عددى روزى ۱۵/۳ باشد و بار ديگر «بيش از ۲/۳» ديگر ثابت محسوب نمى شود. شايد آقاى دينبلى «محقق، نظريه پرداز و كاشف عدد دقيق پى» فكر مى كردند دليل آنكه چندان به كشف ايشان و اصلاح مقدار پى اهميت نمىدهند آن است كه ۱۵/۳ با ۱۴/۳ فرق چندانى ندارد، اما اگر مثلاً پى مقدارش «بيش از ۲/۳» باشد، اهميت اين كشف بيشتر مى شود.
نكته جالب توجه ديگر آن است كه مقدار ۱۵۴۷۰/۳ پيشنهادى ايشان با مقدار پذيرفته شده ۱۴۱۵۹/۳ آنچنان اختلاف زيادى دارد (۱۳۱۱/۰) كه اگر آزمايشگر دقيقى باشيد مى توانيد با استفاده از يك قطعه نخ و يك دايره مناسب، محيط و قطر دايره را اندازه بگيريد و از تقسيم دو عدد بر يكديگر به مقدار واقعى عدد پى دست پيدا كنيد.
در حالى آقاى دينبلى در قرن بيست ويكم روى عدد دوم پس از مميز (رقم صدم اعشار) شك مىكند كه ارشميدس در سده سوم پيش از ميلاد مقدار پى را بين ۱۴۰۸/۳ و ۱۴۲۸/۳ و بطلميوس در سده دوم پيش از ميلاد مقدار پى را ۱۴۱۶/۳ محاسبه كرد. دانشمندان ايرانى كه عدد پى را براى تشكيل جدول هاى اخترشناسى و مثلثاتى مى خواستند، نيازمند آن بودند كه مقدار پى را رقم بيشتر محاسبه كنند.
غياث الدين جمشيد كاشانى دانشمند نامدار ايرانى در رساله اى كه درباره دايره نوشت (رساله المحيطيه) عدد پى را با ۱۶ رقم درست پس از مميز يافت. يك آدم خوش ذوق هم جمله اى گفت كه تعداد حرفهاى كلمه هاى آن مقدار عدد پى را تا ده رقم پس از مميز نشان مى دهد تا راحتتر آن را به خاطر بسپاريد: «خرد و بينش و آگاهى دانشمندان ره بسر منزل مقصود بما آموزد.» (كه تعداد حرف هاى كلمه هاى به ترتيب برابر
۳ _ ۱ _ ۴ ـ ۱ـ ۵ _ ۹ ـ ۲ _ ۳ _ ۴ _ ۵ ـ ۳ _ ۴ است)
پس از وى رودلف در آغاز عدد پى را تا ۲۰ رقم دهدهى و بعد تا ۳۵ رقم دهدهى پيدا كرد:
۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۶۴۳۲۸۳۲۷۸۵۰۲۸۸ كه البته در هيچ كدام از اين محاسبه ها دومين رقم بعد از مميز محل شك و ترديد نبود. بعدها كه كامپيوترها روى كارآمدند توانستند مقدار پى را با تعداد رقمهاى بسيار بيشترى به دست آورند براى مثال در سال ۱۹۹۷ كامپيوترى پس از ۲۹ ساعت و هفت دقيقه محاسبه ۰۰۰/۶۰۰/۵۳۹/۵۱ رقم عدد پى را به دست آورد. در سال ۲۰۰۲ يك گروه ده نفره از دانشمندان با استفاده از يك ابر رايانه هيتاچى كه توانايى انجام ۲ تريليون محاسبه در ثانيه را داشت، مقدار پى را تا ۲۴/۱ تريليون رقم محاسبه كرد. (براى آنكه تجسمى از تعداد رقمهاى اين عدد داشته باشيد يادآورى يك نكته كافى است: نوشتن عدد پى با ۳۳ هزار رقم به يازده ورق A4 نياز دارد. به نظر شما ۲۴/۱ تريليون رقم به چند صفحه كاغذ نياز دارد؟) |
